Odwrotna transformata Laplace’a

Niech \( \hskip 0.3pc f:[0,+\infty )\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją całkowalną taką, że \( \hskip 0.3pc |f(x)|\leq Me^{\alpha x}.\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc a>0.\hskip 0.3pc \) Można pokazać, że

\( f(x)=\dfrac 1{2\pi i}\displaystyle\lim_{b\to \infty}\displaystyle\int_{a-ib}^{a+ib}F(z)e^{zx}dz, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest transformatą Laplacea funkcji \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \)

Definicja 1: Transformaty odwrotnej.

Przekształcenie odwrotne \( \hskip 0.3pc {\cal L}^{-1}\hskip 0.3pc \) do \( \hskip 0.3pc {\cal L}\hskip 0.3pc \) dane jest wzorem

\( {\cal L}^{-1}(F)= \dfrac 1{2\pi i}\displaystyle\int_{a-i\infty}^{a+i\infty}F(z)e^{zx}dz=\dfrac 1{2\pi i}\displaystyle\lim_{b\to \infty}\displaystyle\int_{a-ib}^{a+ib}F(z)e^{zx}dz. \)

Zauważmy, że przekształcenie odwrotne jest liniowe.

Przykład 1:

Znaleźć funkcje pierwotną, jeśli jej transformata

\( F(z)= \dfrac{3z+1}{z^2+2z+10}. \)

Ponieważ

\( \dfrac{3z+1}{z^2+2z+10} = 3\dfrac{z+1}{(z+1)^2+3^2}-\dfrac 23 \dfrac{3 }{(z+1)^2+3^2}, \)

korzystając z linowości transformaty odwrotnej, zależności 3 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" i tabeli transformat Laplace'a otrzymamy

\( \begin{aligned} f(x)= {\cal L}^{-1}(F)(x)=&3 {\cal L}^{-1}\Big(\dfrac{z+1}{(z+1)^2+3^2}\Big)-\dfrac 23 {\cal L}^{-1}\Big(\dfrac{3 }{(z+1)^2+3^2}\Big)=\\=&3e^{-x}\cos\,3x- \dfrac 23 e^{-x}\sin\,3x .\end{aligned} \)

Przykład 2:

Znaleźć funkcje pierwotną, jeśli jej transformata

\( F(z)= \dfrac{1}{(z+2)^3(z+3)}. \)

Ponieważ

\( \dfrac{1}{(z+2)^3(z+3)} = \dfrac 1{2!}\dfrac{2!}{(z+2)^3}-\dfrac 1{(z+2)^2} + \dfrac 1{z+2}-\dfrac 1{z+3}. \)

korzystając z linowości transformaty odwrotnej, zależności 3 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" i tabeli transformat Laplace'a otrzymamy

\( f(x)= {\cal L}^{-1}(F)(x)= \dfrac 1{2}x^2e^{-2x} -xe^{-2x} +e^{-2x} -e^{-3x} . \)

Przykład 3:

Znaleźć funkcje pierwotną, jeśli jej transformata

\( F(z)= \dfrac{e^{-\pi z}}{z^2+4}. \)

Z zależności 4 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" i tabeli transformat Laplace'a mamy

\( \begin{aligned} f(x)={\cal L}^{-1}(F)(x)=&\dfrac{1}{2} {\cal L}^{-1}\Big(\dfrac{2}{z^2+4}\Big)(x-\pi)H(x-\pi)=\\=&\dfrac{1}{2}\sin(x-\pi)H(x-\pi)=-\dfrac{1}{2}\sin(x)H(x-\pi).\end{aligned} \)

Uwaga 1:

Zauważmy, że odwrotna transformacja Laplacea nie jest określona jako funkcja dla wielu nawet bardzo elemetarnych funkcji.

Jako prosty przykład rozważmy funkcje \( \hskip 0.3pc F(z)=1.\hskip 0.3pc \)
Przypuśćmy że istnieje funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) taka, że \( \hskip 0.3pc {\cal L}(f)(z)=1.\hskip 0.3pc \) Na podstawie zależności 5 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a"

\( {\cal L}\big(\displaystyle\int_0^tf(\tau )d\tau\big)(z) = \dfrac 1z{\cal L}(f)(z)=\dfrac 1z. \)

Z drugiej strony wiadomo, że

\( {\cal L}(1)(z)= \dfrac 1z. \)

Ponieważ transformata Laplace'a \( \hskip 0.3pc {\cal L}\hskip 0.3pc \) jest różnowartościowa, wynikałaby stąd równość

\( \displaystyle\int_0^tf(\tau )d\tau =1 \qquad {\rm dla} \hskip 0.3pc t>0, \)

co oczywiście jest niemożliwe. Zauważmy, że transformacja odwrotna z funkcji \( \hskip 0.3pc F(z)=1\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją, mianowicie jest to \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) - Diraca.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Odwrotna transformata Laplace’a

Definicja 1: Transformaty odwrotnej.

Przykład 1:

Przykład 2:

Przykład 3:

Uwaga 1: